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九章算术

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卷八
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    ○方程(以御错糅正负)

    今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,

    下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、

    中、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗

    之一。下禾一秉二斗四分斗之三。

    方程

    〔程,课程也。群物总杂,各列有数,总言其实。令每行为率。二物者再程,

    三物者三程,皆如物数程之。并列为行,故谓之方程。行之左右无所同存,且为

    有所据而言耳。此都术也,以空言难晓,故特系之禾以决之。又列中、左行如右

    行也。〕

    术曰:置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗于右方。中、左禾列

    如右方。以右行上禾遍乘中行,而以直除。

    〔为术之意,令少行减多行,反复相减,则头位必先尽。上无一位,则此行

    亦阙一物矣。然而举率以相减,不害余数之课也。若消去头位,则下去一物之实。

    如是叠令左右行相减,审其正负,则可得而知。先令右行上禾乘中行,为齐同之

    意。为齐同者,谓中行直减右行也。从简易虽不言齐同,以齐同之意观之,其义

    然矣。〕

    又乘其次,亦以直除。

    〔复去左行首。〕

    然以中行中禾不尽者遍乘左行,而以直除。

    〔亦令两行相去行之中禾也。〕

    左方下禾不尽者,上为法,下为实。实即下禾之实。

    〔上、中禾皆去,故余数是下禾实,非但一秉。欲约众秉之实,当以禾秉数

    为法。列此,以下禾之秉数乘两行,以直除,则下禾之位皆决矣。各以其余一位

    之秉除其下实。即计数矣用算繁而不省。所以别为法,约也。然犹不如自用其旧。

    广异法也。〕

    求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实。

    〔此谓中两禾实,下禾一秉实数先见,将中秉求中禾,其列实以减下实。而

    左方下禾虽去一,以法为母,于率不通。故先以法乘,其通而同之。俱令法为母,

    而除下禾实。以下禾先见之实令乘下禾秉数,即得下禾一位之列实。减于下实,

    则其数是中禾之实也。〕

    余,如中禾秉数而一,即中禾之实。

    〔余,中禾一位之实也。故以一位秉数约之,乃得一秉之实也。〕

    求上禾,亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实。

    〔此右行三禾共实,合三位之实。故以二位秉数约之,乃得一秉之实。今中

    下禾之实其数并见,令乘右行之禾秉以减之。故亦如前各求列实,以减下实也。〕

    余,如上禾秉数而一,即上禾之实。实皆如法,各得一斗。

    〔三实同用,不满法者,以法命之。母、实皆当约之。〕

    今有上禾七秉,损实一斗,益之下禾二秉,而实一十斗;下禾八秉,益实一

    斗,与上禾二秉,而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何?答曰:上禾一秉实一

    斗五十二分斗之一十八。下禾一秉实五十二分斗之四十一。

    术曰:如方程。损之曰益,益之曰损。

    〔问者之辞虽?今按:实云上禾七秉,下禾二秉,实一十一斗;上禾二秉,

    下禾八秉,实九斗也。“损之曰益”,言损一斗,余当一十斗;今欲全其实,当

    加所损也。“益之曰损”,言益实以一斗,乃满一十斗;今欲知本实,当减所加,

    即得也。〕

    损实一斗者,其实过一十斗也;益实一斗者,其实不满一十斗也。

    〔重谕损益数者,各以损益之数损益之也。〕

    今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗。上取中、中取下、下取

    上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何?答曰上禾一秉实二十五分斗

    之九。中禾一秉实二十五分斗之七。下禾一秉实二十五分斗之四。

    术曰:如方程。各置所取。

    〔置上禾二秉为右行之上,中禾三秉为中行之中,下禾四秉为左行之下,所

    取一秉及实一斗各从其位。诸行相借取之物皆依此例。〕

    以正负术入之。

    正负术曰:

    〔今两算得失相反,要令正负以名之。正算赤,负算黑,否则以邪正为异。

    方程自有赤、黑相取,法、实数相推求之术。而其并减之势不得广通,故使赤、

    黑相消夺之,于算或减或益。同行异位殊为二品,各有并、减之差见于下焉。著

    此二条,特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程,减、益

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